🎛️ 正交性交互验证
标准Δf=1 → 频域零点精确对齐；偏离则造成ICI
🔹 子载波 A 索引:
🔸 子载波 B 索引:
📐 在符号周期 T = 1 内的归一化内积
—
正交性判定: —
\(\langle s_k, s_m \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T e^{j2\pi f_k t} e^{-j2\pi f_m t} dt\) 实部/虚部
整数倍周期内积分严格为零；非整数倍破坏正交
💡 频域零点对齐证明： 矩形窗时域 → 频域sinc函数，过零点位于 \(f = f_k \pm n/T\)。
当 \( \Delta f = 1/T\)，子载波B的峰值 \(f_m\) 恰好落在子载波A的sinc过零点，反之亦然 → 无干扰。
⏱️ 时域波形 (实部) · 子载波A与B及其叠加
▲ 蓝色: 子载波A 橙色: 子载波B 绿色: 合成波形。正交时内积≈0（波形正负面积抵消）。
🌊 频域频谱 |S(f)| (sinc函数) · 峰值与零点对齐演示
▲ 实线: 子载波A的sinc频谱 虚线: 子载波B的sinc频谱。当Δf=1/T时，A的峰值正好落在B的零点，B的峰值落在A的零点。 滑动Δf观察对齐破坏。
📖 数学证明：时域积分零点 + 频域零点对齐
时域正交性： OFDM符号周期 \(T\)，子载波频率 \(f_k = k\Delta f\)，取 \(\Delta f = 1/T\)，则对 \(k\neq m\)：
\[
\frac{1}{T}\int_0^T e^{j2\pi f_k t} e^{-j2\pi f_m t} dt = \frac{1}{T}\int_0^T e^{j2\pi (k-m)\Delta f t} dt = \frac{1}{T} \cdot \frac{e^{j2\pi (k-m)}-1}{j2\pi (k-m)\Delta f}=0.
\]
即每个子载波在周期内包含整数个完整正弦波，其他子载波积分为零。
频域零点对齐： 时域矩形窗（持续时间T）导致每个子载波的频谱为sinc函数：\(S_k(f) = T \cdot \text{sinc}\big((f-f_k)T\big)\)，其零点位于 \(f = f_k \pm n/T, n=1,2,...\)。当子载波间隔 \(\Delta f = 1/T\) 时，任意两个不同子载波的频谱峰值恰好对准对方的零点，从而避免载波间干扰 (ICI)。
🎯 本页动态证明： 右侧频域图实时绘制两个子载波的sinc频谱，并用竖线标注峰值与零点位置。当Δf偏离1/T，零点错位，干扰出现(内积非零)。
📡 工程应用：Wi-Fi, 5G, DVB-T
- 📶 Wi-Fi 6 (802.11ax)： 子载波间隔78.125kHz，利用正交性实现OFDMA多用户并行传输。
- 📱 5G NR： 灵活参数集 (15/30/60 kHz子载波间隔)，频域零点对齐保障不同子载波组无ICI。
- 📺 DVB-T2： 对抗多径衰落，循环前缀维持子载波正交性，频域均衡简单高效。
- ⚙️ 频偏补偿： 本演示Δf模拟频率偏移对正交性的破坏——实际接收机需CFO估计与补偿。
👉 操作建议： Δf=1时频域零点完美对齐，内积=0。将Δf调至0.8或1.2，零点错位，内积不再为零，直观感受ICI的产生。